Сосланбек Тавасиев родился 25 декабря 1894 года в горном селении Фаснал в Дигорском ущелье Терской области Российской империи, ныне Республика Северная Осетия-Алания. Его отец стремился дать детям хорошее образование: Сосланбек посещал школу в Алагире, подготовительный класс Владикавказской гимназии, учился в гимназии. В 1914 году был призван в царскую армию, в осетинский батальон. После Октябрьской революции Сосланбек поддержал Советскую власть.
Сосланбек Дафаевич – революционер, боевой командир воевал на стороне большевиков в Гражданской войне. В Пятигорске Реввоенсоветом 1-й армии и краевым комитетом партии большевиков была организована Шариатская колонна для разгрома терской контрреволюции. В этой шариатской колонне Тавасиев был командиром Шариатского полка. Полк участвовал в боях с контрреволюционными отрядами генерала Шкуро под Кисловодском, Суворовской и Бургустанской станицами. В боях с терской контрреволюцией Шариатский полк особо отличился под станицей Прохладной. С.Д.Тавасиев одним из первых в Осетии был награждён Орденом Боевого Красного знамени (1919).
С детства в нём проявился талант будущего скульптора. На фронте во время затиший он вырезал ножом скульптуры из дерева. В 1921-1923 годах самостоятельно работал как художник-любитель. В 1924 году состоялась его первая персональная выставка во Владикавказе. Был направлен на учебу в Ленинградский высший художественно-технический институт, окончил с отличием факультет скульптуры. В годы учёбы он организовал студенческую секцию Центрального Бюро Краеведения, был председателем этой секции, затем действительным членом Центрального Бюро Краеведения вплоть до 1930 года. В 1927 году Сосланбек Дафаевич стал работать там ассистентом кафедры истории материальной культуры. В 1928 году переехал в Москву. Участвовал в выставках Ассоциации художников революционной России, в выставке к 10-летию Рабоче-Крестьянской Красной Армии. В 1939 году стал членом Союза художников СССР.
Во время Великой Отечественной войны семья Тавасиева была эвакуирована в село Стерлибашево Республики Башкортостан. В 1941-1942 годах Сосланбек Тавасиев был ответственным секретарем Уфимского городского отделения Союза художников. Во время проживания в Башкортостане в 1941-1946 годах у Тавасиева возник замысел скульптуры - памятника Салавату Юлаеву, созданию которого он отдал многие годы жизни. Макет памятника, а затем и саму скульптуру Тавасиев создавал в своей мастерской в посёлке художников Ново-Абрамцеве (одним из инициаторов создания этого посёлка в 1934 году, наряду с И.Э.Грабарем, был и С.Тавасиев) и в бывшей усадьбе Ахтырка (рядом с г.Хотьково). Там, под сводами недействующей в то время и отданной под мастерские объединения «Ново-Абрамцево» Ахтырской церкви, Сосланбеком Дафаевичем была создана монументальная конная композиция башкирского народного героя Салавата Юлаева. Памятник был установлен в 1967 году в Уфе, при въезде в город. За этот памятник скульптор получил звание Народного художника БАССР (1967), был награждён золотой медалью Академии Художеств и премирован Государственной премией СССР (1970). Во Владикавказе находится ещё одна монументальная скульптура работы С.Д.Тавасиева – памятник Коста Хетагурову. Там же установлен бюст дважды Героя Советского Союза - генерала Плиева работы Тавасиева.
Наряду с творческой работой, участвуя почти во всех всесоюзных выставках, скульптор принимал активное участие в общественной жизни художников.
С.Тавасиеву были присуждены такие государственные награды и звания, как орден Красного Знамени (1919), народный художник Северо-Осетинской АССР (1955), орден Трудового Красного Знамени (1958), народный художник Башкирской АССР (1967), Золотая медаль АХ СССР (1967), орден Трудового Красного Знамени (1968), Государственная премия СССР (1970) - за памятник Салавату Юлаеву в Уфе.
Большую часть своей жизни художник прожил в Москве.
Умер 10 апреля 1974 года в Москве. Похоронен на Новодевичьем кладбище.